domingo, 29 de mayo de 2011
Cenefa con GeoGebra
Aquí os dejamos una construcción con los pasos para realizar una cenefa. Pulsa en la botonera y observa los pasos:
sábado, 28 de mayo de 2011
Figuras simétricas con GeoGebra
En el siguiente vídeo te mostramos la forma de realizar figuras simétricas con GeoGebra. Practica con la aplicación y crea tu propia figura simétrica.
viernes, 27 de mayo de 2011
GeoGebra y Napoleón
Aunque no es muy frecuente, de cuando en cuando nos encontramos con personajes que brillaron en el mundo de la política y también hicieron algunos pinitos en el campo de las ciencias. Uno de ellos fue Napoleón Bonaparte. Se cuenta que desde pequeño mostró su interés por las matemáticas, logrando así destacar en el colegio militar y convertirse en oficial de artillería, área en la que resulta fundamental el uso de las matemáticas. Posiblemente ese interés hacia las matemáticas fue el motivo por el que, una vez iniciada su carrera política, mantuvo contactos con matemáticos muy importantes de su época, como Laplace, Lagrange, Fourier y otros.
En esta aplicación vamos a conocer uno de los descubrimientos matemáticos que se le atribuyen a Napoleón.
Preguntas
1.- Dibuja sobre la vista gráfica tres puntos cualesquiera. A continuación construye el triángulo formado por esos tres puntos.
2.- Sobre cada uno de los lados del triángulo anterior construye, hacia el exterior del triángulo, un triángulo equilátero.
3.- Determina el centro de cada uno de los tres triángulos que acabas de dibujar.
4.- Ahora construye el triángulo que une los tres centros de los triángulos que has construido en el apartado anterior. Cambia el color de este último triángulo y escoge un estilo de trazo más grueso.
5.- Mide los lados de este triángulo, ¿qué tipo de triángulo es?
6.- Mueve los tres puntos iniciales y observa qué ocurre con el triángulo que une los centros, ¿sigue siendo del mismo tipo?
7.- El resultado que has encontrado se conoce como Teorema de Napoleón, ¿cómo lo enunciarías?
8.- ¿Llegaríamos al mismo resultado si en la pregunta 2 los tres triángulos equiláteros los construyéramos hacia el interior del triángulo, en vez de hacia el exterior? Haz la construcción correspondiente y compruébalo.
jueves, 26 de mayo de 2011
Creación de una parábola a partir de 4 tangentes
Sean las tangentes: t1, t2, t3 y t4 tangentes a una misma parabola.
1) Se determinan 3 puntos utilizando las 3 primeras tangentes: t1 intersección t2 = I, t1 intersección t3 = J, t2 intersección t3 = K. Se traza la circunferencia circunscripta a el triangulo determinado por estos 3 puntos.
2) Se repite el proceso con las demas tangentes. Es decir, se procede a averiguar la intersección de, por ejemplo, t1 intersección t3, t1 intersección t4 y t3 intersección t4. Se traza nuevamente otra circunferencia circunscripta al triangulo determinado por estos 3 puntos. Analogamente realizamos, t2 intersección t3, t2 intersección t4, t3 intersección t4 y realizamos la ultima circunferencia circunscripta.
3) El punto de corta de estas 3 circunferencias determina el Foco F de la Parabola.
4) Proyectamos el Foco sobre 2 tangentes, en nuestro caso sobre la recta AB y sobre la recta CD y obtenemos 2 puntos F' y F''de la directriz de la parábola. Trazando la recta determinada por estos 2 puntos obtenemos la directriz.
5) Para obtener la parábola lo hacemos como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de F y de la recta F'F'' Puedes desplazar los puntos A, B, C, D, E, F1, G y H que definen a las cuatro tangentes p, q, r y s.
1) Se determinan 3 puntos utilizando las 3 primeras tangentes: t1 intersección t2 = I, t1 intersección t3 = J, t2 intersección t3 = K. Se traza la circunferencia circunscripta a el triangulo determinado por estos 3 puntos.
2) Se repite el proceso con las demas tangentes. Es decir, se procede a averiguar la intersección de, por ejemplo, t1 intersección t3, t1 intersección t4 y t3 intersección t4. Se traza nuevamente otra circunferencia circunscripta al triangulo determinado por estos 3 puntos. Analogamente realizamos, t2 intersección t3, t2 intersección t4, t3 intersección t4 y realizamos la ultima circunferencia circunscripta.
3) El punto de corta de estas 3 circunferencias determina el Foco F de la Parabola.
4) Proyectamos el Foco sobre 2 tangentes, en nuestro caso sobre la recta AB y sobre la recta CD y obtenemos 2 puntos F' y F''de la directriz de la parábola. Trazando la recta determinada por estos 2 puntos obtenemos la directriz.
5) Para obtener la parábola lo hacemos como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de F y de la recta F'F'' Puedes desplazar los puntos A, B, C, D, E, F1, G y H que definen a las cuatro tangentes p, q, r y s.
lunes, 23 de mayo de 2011
Múltiplos
Coloca los puntos azules sobre los amarillos, para situar los números en las casillas del tablero, de forma que el producto de los tres elementos de cada fila sea el valor de la derecha y el producto de los tres elementos de cada fila sea el valor inferior.
Una vez colocados los números activa la solución para comprobar el resultado. Los números que no estén bien situados aparecerán con fondo rojo.
Tienes tres ejercicios propuestos a los que puedes acceder moviendo el deslizador Ejercicio.
domingo, 22 de mayo de 2011
Secuencia con GeoGebra
Mediante las secuencias, empezamos a ver un poco el potencial de GeoGebra.
El comando Secuencia, se teclea en la entrada algebraica (abajo) y tiene la siguiente sintaxis:
Secuencia[expresión, variable (incluida en expresión), inicio, fin]
Un ejemplo:
Secuencia[(5,k), k, 1, 4]
Significa que la variable "k" va a tomar los valores desde 1 (inicio) hasta 4 (fin) en la expresión (5,k)
Sería lo mismo que introducir 4 comandos:
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
dibujaría, por tanto, los 4 puntos anteriores
Veamos un ejemplo de secuencia variable, es decir, que haga "m" veces una cosa (donde m será un deslizador que podremos variar).
* Dibujaré un rectángulo horizontal de 10 de ancho por 1 de alto
* Crearé una variable (deslizador) de nombre "m"
* Dividiré el rectángulo en "m" partes mediante una secuencia de segmentos verticales.
(en negrita pondré los comandos a teclear en la entrada de abajo)
Dibujamos el rectángulo:
Polígono[(0,1), (0,0), (10,0), (10,1)]
Ocultamos los rótulos de los segmentos del polígono
Creamos variable "m"
m = 5
(pongo por ejemplo 5, porque hay que darle un valor inicial)
Muestro el deslizador y cambio algunas propiedades
deslizador (min:1 , max:20 , incremento: 1)
Para dibujar los segmentos verticales, necesito las coordenadas de los puntos que dividen la base del rectángulo en m partes (también las coordenadas de sus parejas en la base-superior del rectángulo).
Puntos que dividen base del rectángulo:
coordenada y = 0
coordenada x = 10i/m (para "i" desde 1 hasta m-1)
Puntos que dividen base-superior del rectángulo:
Coordenada y = 1
coordenada x = 10i/m (para "i" desde 1 hasta m-1)
Usaremos una secuencia para que nos dibuje esos segmentos:
Secuencia[Segmento[(10i/m,0),(10i/m,1)], i, 1, m-1]
Para "i" desde 1 hasta m-1 dibujará m-1 segmentos verticales
Cada segmento está definido por los puntos (10i/m,0) y (10i/m,1)
* En la sintaxis Secuencia[algo_que_repetir,i,inicio, fin] debemos tener en cuenta que: inicio y fin son números (aunque también pueden ser variables)
* algo que repetir debe incluir una variable "i"
* usamos la variable "i" porque no se ha usado antes (cuidado: NO usar alguna variable ya usada).
El resultado del ejemplo lo podemos ver en el siguiente applet:
El comando Secuencia, se teclea en la entrada algebraica (abajo) y tiene la siguiente sintaxis:
Secuencia[expresión, variable (incluida en expresión), inicio, fin]
Un ejemplo:
Secuencia[(5,k), k, 1, 4]
Significa que la variable "k" va a tomar los valores desde 1 (inicio) hasta 4 (fin) en la expresión (5,k)
Sería lo mismo que introducir 4 comandos:
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
dibujaría, por tanto, los 4 puntos anteriores
Veamos un ejemplo de secuencia variable, es decir, que haga "m" veces una cosa (donde m será un deslizador que podremos variar).
* Dibujaré un rectángulo horizontal de 10 de ancho por 1 de alto
* Crearé una variable (deslizador) de nombre "m"
* Dividiré el rectángulo en "m" partes mediante una secuencia de segmentos verticales.
(en negrita pondré los comandos a teclear en la entrada de abajo)
Dibujamos el rectángulo:
Polígono[(0,1), (0,0), (10,0), (10,1)]
Ocultamos los rótulos de los segmentos del polígono
Creamos variable "m"
m = 5
(pongo por ejemplo 5, porque hay que darle un valor inicial)
Muestro el deslizador y cambio algunas propiedades
deslizador (min:1 , max:20 , incremento: 1)
Para dibujar los segmentos verticales, necesito las coordenadas de los puntos que dividen la base del rectángulo en m partes (también las coordenadas de sus parejas en la base-superior del rectángulo).
Puntos que dividen base del rectángulo:
coordenada y = 0
coordenada x = 10i/m (para "i" desde 1 hasta m-1)
Puntos que dividen base-superior del rectángulo:
Coordenada y = 1
coordenada x = 10i/m (para "i" desde 1 hasta m-1)
Usaremos una secuencia para que nos dibuje esos segmentos:
Secuencia[Segmento[(10i/m,0),(10i/m,1)], i, 1, m-1]
Para "i" desde 1 hasta m-1 dibujará m-1 segmentos verticales
Cada segmento está definido por los puntos (10i/m,0) y (10i/m,1)
* En la sintaxis Secuencia[algo_que_repetir,i,inicio, fin] debemos tener en cuenta que: inicio y fin son números (aunque también pueden ser variables)
* algo que repetir debe incluir una variable "i"
* usamos la variable "i" porque no se ha usado antes (cuidado: NO usar alguna variable ya usada).
El resultado del ejemplo lo podemos ver en el siguiente applet:
Teorema de la altura en triángulos rectángulos
Reproduce la animación completa. Una vez finalizada, arrastra los vértices A y C (que corresponde a un ángulo recto) y comprueba que siempre se verifica el teorema de la altura.
sábado, 21 de mayo de 2011
El camino de las hormigas
Las n hormigas, dispuestas en los vértices de un polígono regular de n lados, se dirigen directamente hacia su vecina más próxima en sentido antihorario, con velocidad constante. Describen una espiral logaritmica, que antes de alcanzar el centro, lo rodea infinitas veces. A pesar de ello, lo hacen en un tiempo finito, en este caso ajustado a 1. La velocidad constante a la que se mueven es v = r/sen(π/n) m/s, siendo r el radio del polígono. El espacio recorrido por cada una, es por tanto, r/sen(pi/n) m.
Con valores de n altos puede parecer que hacia el final las hormigas giran en sentido horario. Se trata de una ilusión óptica, producto del número discreto de posiciones representadas.
Los vectores indican solo la dirección del movimiento, no el módulo de la velocidad, que es constante.
Con valores de n altos puede parecer que hacia el final las hormigas giran en sentido horario. Se trata de una ilusión óptica, producto del número discreto de posiciones representadas.
Los vectores indican solo la dirección del movimiento, no el módulo de la velocidad, que es constante.
viernes, 20 de mayo de 2011
Curvas polares con GeoGebra
En el siguiente vídeo te mostramos cómo puedes trabajar con curvas en polares con GeoGebra. Observa cómo se hace e intenta realizarlo con GeoGebra.
jueves, 19 de mayo de 2011
Lemniscata de Bernouilli
Mueve o punto P para recorrer la lemniscata. Varía el valor de a para modificar la curva. La Casilla "inversión" presenta/oculta la inversa de la curva respecto a la circunferencia de centro O y radio OA.
También puedes cambiar el valor de c en la línea de entrada. Poniendo por ejemplo, c=1.2.
También puedes cambiar el valor de c en la línea de entrada. Poniendo por ejemplo, c=1.2.
Manejando triángulos rectángulos
Sobre los catetos AB y AC de un triángulo rectángulo ABC, se construyen exteriormente dos cuadrados ABDE y ACFG. Probar que las rectas CD y BF y la altura correspondiente a la hipotenusa son concurrentes.
Utiliza la siguiente ventana interactiva arrastrando los puntos de construcción del triángulo.
Utiliza la siguiente ventana interactiva arrastrando los puntos de construcción del triángulo.
Círculo trigonométrico
En la siguiente ventana mueve el punto P sobre la circunferencia de radio 1 y observa cómo van variando los valores de las funciones trigonométricas básicas. Observa el signo de cada una de ellas.
martes, 17 de mayo de 2011
Seno y coseno de la suma y del ángulo doble
Utiliza la barra inferior para avanzar o retroceder.
Modifica los ángulos con los deslizadores. Si los ángulos, o su suma, pertenecen a otros cuadrantes, la relación sigue siendo válida, aunque habría que modificar el esquema.
Dale tambien valores iguales a los ángulos, en particular 30º, 45º y 60º.
Modifica los ángulos con los deslizadores. Si los ángulos, o su suma, pertenecen a otros cuadrantes, la relación sigue siendo válida, aunque habría que modificar el esquema.
Dale tambien valores iguales a los ángulos, en particular 30º, 45º y 60º.
domingo, 15 de mayo de 2011
El botellero
Este botellero tiene una anchura PS entre 6 y 8, que permite alojar en su fondo tres botellas de radio 1, con una cierta holgura para la central. Añadiendo botellas hasta completar 13, las de la 5ª capa se encuentran sorprendentemente a la misma altura, con independencia de la posición de B, si PS < PT. Después de colocar las 13 botellas, con el deslizador 'botellas', mueve el deslizador t y el punto S, y marca las casillas a1 - a5, para comprobarlo.
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