Funciones y movimientos

En la ventana interactiva que puedes observar más abajo puedes seleccionar la función f(x) entre varias funciones que aparecen. En los ejes de coordenadas se representará la función g(x) que supone una trasformación de la anterior con arreglo a los parámetros a, b, c y d que aparecen

Estudia la trasformación que suponen en la función original f(x) los distintos parámetros a, b, c y d.

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Producto de funciones lineales

¿Qué ocurre cuando realizamos el producto de dos funciones lineales?

Practica con la siguiente ventana interactiva e intenta deducir algunas propiedades sobre el producto de dos funciones lineales.

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Dominio y rango de una función

Investiga el dominio y rango de una función en la siguiente ventana interactiva. Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Razones y funciones trigonométricas

En la siguiente ventana interactiva puedes investigar sobre las razones trigonométricas y la representación gráfica de las funciones trigonométricas.
Trabaja e interactúa sobre la misma para asentar los conocimientos.

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Optimizando el volumen de una caja con GeoGebra 3D

Tomamos una hoja de papel con la que pretendemos realizar una caja en forma de paralelepípedo. Para ello procedemos a realizar los cortes adecuados para conseguir la mencionada caja.

En la siguiente escena interactiva te mostramos tres zonas que identificamos en los siguientes apartados:

1.- En la zona superior puedes seleccionar las dimensiones del papel y el tamaño del corte que deseas realizar.

2.- En la zona inferior observas cómo queda el papel tras realizar el corte. Si utilizar el deslizador "i" de la zona superior, observarás la forma en la que queda la caja montada.

3.- En la parte de la derecha observas la gráfica de la función que proporciona el volumen de la caja en función del corte.

Utiliza la escena interactiva anterior para observar su utilidad para resolver los siguientes apartados que se piden:
a) ¿Qué puedes decir de esa función?
b) ¿Que tamaño debe tener el corte para que el volumen de la caja generada a partir de una lámina de papel de dimensiones 24x12 sea máximo?
c) Calcula para los valores anteriores la cantidad de papel que se aprovecha y la que se desperdicia.
d) Intenta lo anterior para otras dimensiones de papel que se te ocurran.

Entrada para la Edición 4.12310 del Carnaval de Matemáticas en el blog de @_mirandamolina_.

Gráfica de una función definida a trozos

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Concepto de derivada en un punto

En la siguiente ventana te ofrecemos la posibilidad de observar claramente el concepto de derivada.
Desplaza el punto Q hacia el punto P para obtener la recta tangente a la curva en P como límite de rectas secantes pasando por P y Q.

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Límite de la función en un punto

En la siguiente ventana aparece una función f(x) de la que vamos a calcular visualmente el límite cuando tiende a 2. Para ello, puedes observar como al acercarte por la derecha y por la izquierda al punto de abcisa x=2, la función se aproxima en ambos casos a 3



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Calculando un área en un triángulo rectángulo

Si trazamos un triángulo rectángulo isósceles como el que aparece en la siguiente ventana interactiva, y trazamos las circunferencias con centro en cada uno de los vértices de los ángulos no rectos y que pasen por el vértice del ángulo recto, calula el área del área sombreada que aparece en la figura en función de la longitud del lado del triángulo. Comprueba que tu respuesta es la correcta moviendo el vértice B y comprobando que el área resultante coincide con el que arroja la función calculada. Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Parámetros de una hipérbola

En la siguiente ventana interactiva hemos representado la parábola x² / a² - y² / b² = 1 Modifica los valoras de los parámetros a y b y observa qué sucede con la figura. Redacta un texto con las conclusiones sobre la modificación de estos parámetros y su influencia. Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Límites laterales de una función determinada

En la siguiente ventana interactiva, desplaza los puntos rojo y azul sobre la barra de desplazamiento y comprueba que f(x) se acerca a 3 o a 4 cuando x se acerca a 2 por la izquierda o por la derecha respectivamente. En consecuencia, hay límites laterales, pero no existe límite en x = 2. Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Applets de cálculo utilizando GeoGebra

El autor del proyecto por el que se han desarrollado estas calculadoras es Marc Renault. Es un completo conjunto de applets de utilidad para el aula y que hemos agrupado aquí:

Límites

1. Intuitive Notion of the Limit
2. Intuitive Notion of the Limit - One-Sided Limits
3. The Limit Laws
4. Continuity at a Point
5. An Important Trig Limit

   lim θ→0

   sin(θ)

   θ

   = 1
6. Average and Instantaneous Rate of Change

Diferenciación

1. The Derivative at a Point
2. The Derivative as a Function
3. The Derivative of Elementary Functions
4. Try to Graph the Derivative Function
5. The Derivative of Exponential Functions
6. Identify the Derivative Function
7. Derivatives and Graph Transformations
8. Identify a Function and its First and Second Derivatives
9. Identify an Antiderivative Function
10. The Power Rule - Derivatives of Polynomial Functions
11. Intuitive Notion of the Chain Rule
12. Implicit Differentiation
13. Derivatives of Inverse Functions

Aplicaciones para derivadas

1. First derivative test - Reconstruct f  from its First Derivative
2. Second derivative test - Reconstruct f  from its Second Derivative
3. Derivatives and the Shape of a Graph
4. Related Rates Problems: Oil Slick -- A Falling Ladder -- A Conical Tank -- Driving Car -- Lamppost -- Two Trains -- Searchlight -- Rocket Launch
5. Optimization Problems: Bending a Wire -- Rectangle Inscribed in a Parabola -- Three Pens -- Getting Power to an Island -- Another Wire Problem -- Function and Rectangle 1 -- Function and Rectangle 2 -- Triangle Circumscribing a Circle --

La integral

1. Introduction to Integration - The Exercise Bicycle Problem:   Part 1     Part 2
2. Introduction to Integration - Gaining Geometric Intuition
3. The Riemann Sum
4. The Area Function
5. The Fundamental Theorem of Calculus, Part I (Theoretical Part)
6. The Fundamental Theorem of Calculus, Part II (Practical Part)

Recursos adicionales

• The GeoGebra website
• A GeoGebra tutorial
• Panning and zooming in GeoGebra applets

Triángulo con tres tangentes a una circunferencia

En la siguiente applet de GeoGebra puedes observar lo siguiente:
Por un punto P exterior a una circunferencia c de radio r y a una distancia l de su centro, se trazan dos tangentes PA y PB. Por un punto cualquiera C del arco AB, se traza otra tangente a la circunferencia, que corta a las dos anteriores en D y E. Entonces:

i) El perímetro del triángulo PDE es independiente del punto C.

ii) El ángulo γ = DOE es independiente del punto C.

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Razona que ambas afirmaciones son ciertas.
¿Cuanto mide el perímetro en función de r y l?
¿Cómo se relacionan los ángulos γ = DOE y δ = BPO?