Área entre dos curvas

En la siguiente ventana te mostramos un ejemplo para que observes la forma de calcular el área entre dos curvas. Es un ejemplo de guía en el que hemos utilizado las dos funciones que aparecen.
En los ejercicios que quieras resolver deberás seguir los pasos que aquí te hemos marcado. Interactúa con la ventana y observa que todo lo que se indica en la misma son los pasos lógicos que se deben seguir.

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Composición de funciones

En la siguiente ventana interactiva aparecen representadas dos funciones h y g. la función f representa la composición de las dos. 1.- Desliza el punto Xo y aparecerá el punto D que es composición de las dos funciones en ese punto. 2.- Arrastra las gráficas h(x) y g(x) para conseguir nuevas funciones. 3.- Pulsa Ctrl+F para limpiar el rastro de la pantalla. Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Optimizando el volumen de una caja

Una pieza de una hoja de metal es rectangular y mide 4 pies de ancho por 6 de largo. Se cortan cuadrados congruentes en sus cuatro esquinas. La pieza resultante de metal se dobla y une para formar una caja sin tapa. ¿Cómo debe hacerse esto para obtener la caja con el mayor volumen posible? GUIA DE TRABAJO 1. Observa la figura. Si decidimos cortar cuadrados de 2 pies de lado en las esquinas de las láminas metálicas, ¿cuáles son las dimensiones de la caja y su volumen ? 2. ¿Cómo cambiarían esas dimensiones si los cuadrados que cortamos son de 2.15 pies de lado? 3. Si cortamos cuadrados más pequeños, ¿obtenemos necesariamente cajas de un volumen mayor? Explica tu respuesta 4. Como se desea obtener cajas con el volumen más grande posible, ¿se te ocurre alguna manera de determinar la medida del cuadrado que cortaremos para lograr ese mayor volumen? 5. Encuentra una expresión algebraica que permita conocer el volumen (en litros) de la caja a partir de su altura, es decir, del lado del cuadrado recortado (en dm). 6. Construye una tabla de valores a partir de la fórmula obtenida. 7. Observa la figura interactiva de abajo. Mueve el punto verde y comprueba si tienes errores en la tabla de valores. 8. Explica el significado del punto rojo y su variación al mover el verde. 9. Justifica o niega las siguientes afirmaciones, razonando tu respuesta: a) El volumen de la caja aumenta y disminuye al incrementar la altura de la caja. b) Es imposible hallar el volumen de una caja conociendo sólo una de sus tres dimensiones. c) La relación entre la altura de una caja y su volumen es lineal. Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com 10. Vamos a representar gráficamente la función definida en la pregunta 5: haz clic sobre el cuadro que dice "Dibujar trazo". Luego vuelve a mover el punto verde. Describe lo que ocurre. 11. ¿Cuál es el dominio de la función? ¿Por qué? 12. ¿En qué punto se alcanza el valor más alto de la gráfica? Compruébalo haciendo click en el cuadro "Ver gráfica y solución". 13. Cómo será la tangente a la gráfica en ese punto? 14. ¿Cuál será el valor de su pendiente? ¿Qué relación tiene ese valor con la derivada de la función en ese punto? 15. Toma la función definida en la pregunta 5 para el volumen y calcula su función derivada. 16. Sustituye en ella la x por el valor dado para la solución. ¿Cuánto da? 17. Resume tus conclusiones: ¿cómo se puede calcular el valor máximo o minimo de una función? REPITE TODOS LOS PASOS, PARA UNA LAMINA CUADRADA DE 3.5 PIES DE LADO. Mueve los puntos morados para cambiar las dimensiones de la lamina.

Optimizando en un cine

En el siguiente applet interactivo te presentamos una sala de cine. Calcula desde que lugar de una sala de cine, con un fondo de 12 m, se tiene el mayor ángulo de visión de la pantalla, suponiendo que tiene un ancho de a metros y está situada a una altura de b metros. Desplaza el punto P para encontrar el mayor ángulo de visión. Moviendo el punto Q puedes variar las dimensiones de la pantalla y la altura a la que está situada. Justifica que el máximo se obtiene para el valor x= ((a + b)b)^(1/2) Estudia la situación para los casos particulares a= 0 ó b= 0. Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Propiedad de los polinomios

Esta es una propiedad interesante de los polinomios de tercer grado que no parece generalizar a polinomios de grado superior.
Si tenemos una función de la forma f(x)=(x-a)g(x) donde g(x) es una función derivable. Y tenemos un valor r de forma que g'(r)=0. entonoces la recta tangente a la gráfica y=f(x) en el punto (r,f(r)) corta al eje de abcisas en el punto (a,0).
Observa en la siguiente ventana interactiva la mencionad propiedad. ¿Sabrías demostrarla?

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Posición de tres planos en el espacio con Geogebra 3D

En la siguiente ventana interactiva puedes apreciar que hemos representado los tres planos cuyas ecuaciones aparecen seguidamente. También aparece marcada la intersecciçon de los distintos planos.
Modifica los parámetros a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3 y d3 y observa las distintas posiciones en las que pueden aparecer los tres planos en el espacio.

Utiliza las gafas 3D para visualizar la ventana interactiva.

Rotación arbitraria de un triángulo alrededor de los ejes de coordenadas

En la siguiente ventana interactiva podrás rotar el triángulo que aparece alrededor de uno de los ejes que selecciones o de los dos. Selecciona la rotación y marca el eje alrededor del que quieres que rote.

Observa el efecto seleccionado primero el eje y efectuando posteriormente la rotación. Observa la figura que aparece.

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Aproximación de una distribución binomial a una normal

En la siguiente ventana puedes ver la animación que representa la aproximación de una distribución binomial a una normal. El valor n puedes modificarlo y el parámetro p de la binomial es el que aparece animado.
En dicha construcción puedes escalar el eje de la ordenada, mostrar la región crítica inferior y la superior y mostrar la curva normal a la que se aproxima.
Observa cómo se ajusta la aproximación dependiendo de los valores n y p y realiza un estudio concreto para n=12 y p=0,387



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Área entre dos curvas

En la siguiente ventana interactiva puedes calcular el área encerrada entre dos curvas en un intervalo determinado. Escribe cada una de las funciones que desees y mueve el intervalo [A,B] según te interese. Calcula el área y comprueba que es la que se indica. Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Estudiando las funciones con colores

Tenemos tres deslizadores: a, b y c que indican los coeficientes de una función que pertenece a una de las seis familias de curvas que estudiaremos: lineal, cuadrática, de proporcionalidad inversa, un tipo de racional, la exponencial y una función trigonométrica.

Pulsa el botón de animación y verás que la curva se transforma a la vez que deja rastro por donde pasa y cambia de color.

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La construcción está preparada para que puedas realizar los siguientes cambios:

-Zona verde: Cambiar a otra familia de funciones. En la pantalla gráfica de la derecha aparece en cada momento la expresión algebraica de la función con los coeficientes en continuo cambio ya que vienen dados por los deslizadores a, b y c.
-Zona amarilla: El color con el que se dibuja la función es una combinación de tres colores: rojo, verde y azul que puede venir dado por tres cantidades fijas o por fórmulas que dependen de a, b y c. Puedes introducir nuevas fórmulas para los colores colocando en la casilla correspondiente al color una función que dependa de esos parámetros. Podemos introducir expresiones del tipo: a-b, 10/a, a^2-b, (a+b+c)/15 o cualquier otra que se te ocurra.
-Zona azul: Modificar la velocidad va, vb y vc con la que se mueven los coeficientes a b y c de las fórmulas. Si la velocidad de uno de los deslizadores es 0, significa ese coeficiente permanece inalterable, tanto para la expresión de la función como para las fórmulas que indican los colores. La máxima velocidad se alcanza cuando llega a 1.