Algunas secciones del cubo

    Si cortamos un cuerpo geométrico dando un corte plano, a la figura plana que aparece en la zona del corte que separa los dos trozos se le llama sección de corte. Vamos a ver algunas secciones que pueden hacerse en un cubo.
Imagínate un cubo y explica y, si puedes, dibújalo, cómo tendrías que cortar para obtener
    1. Una sección cuadrada
    2. Una sección rectangular
    3. Una sección triangular  ¿Cómo es tu triángulo? ¿Podrías conseguir otros tipos de triángulos?

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    PREGUNTAS:
1. Las secciones paralelas a una cara ¿serían distintas si eligiéramos otra cara? ¿Qué figuras se obtienen?
2. ¿Qué clase de "corte" se obtiene en las secciones paralelas a una arista? ¿Son todas del mismo tipo? ¿Se puede conseguir un cuadrado? ¿Cómo crees que hay que cortar para obtenerlo?
3. Las secciones perpendiculares a una diagonal no son todas iguales ¿verdad? Explica como son. ¿Aparecen polígonos regulares? ¿Cuáles?
4. ¿Qué clases de triángulos y cuadriláteros aparecen en las secciones "azules", "rosas" y "amarillas"? ¿Hay polígonos regulares? ¿Cuáles y cómo se obtienen?
5. Piensa cómo se podrían conseguir triángulos escalenos, trapecios no isósceles y otros rombos. Dibújalo. ¿Se pueden obtener triángulos rectángulos?

Calculando ángulos 2

P, Q, K R y S son puntos de tangencia. Hallar el valor de δ.




Pueden moverse los tres vértices y el centro O_1, así como variar el valor del ángulo β.




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Potencia de un punto respecto a una circunferencia

Sea un punto P desde el cual hemos trazado rectas secantes a una circunferencia y fijémonos en dichas rectas y en los triángulos sombreados

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1.- ¿Son semejantes los triángulos anteriores? ¿Hay algún ángulo común a los dos triángulos? ¿Cómo son los ángulos β y γ?

2.- Abre la hoja de cálculo y calcula la distancia del punto P a los puntos de corte.

3.- Activa la casilla Mostrar medidas y comprueba  los resultados.

4.- Multiplica las distancias obtenidas, ¿qué observas?

5.- Mueve el punto P para que varíe las rectas y repite los cálculos anteriores con los nuevos puntos. ¿Qué conclusiones extraes?

6.- Activa la casilla Mostrar  conclusiones.

Triángulos semejantes por Thales

Demostración de que los triángulos en posición de Thales son semejantes



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Comprueba, desplazando el punto B', que los lados son proporcionales independientemente de donde esté situado el segmento B'C'.
Mueve los vértices para comprobar que la proposición se verifica en todo tipo de triángulos

Teorema de Thales

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Comprueba que se verifica siempre el teorema modificando los puntos P, Q, R y S y las rectas p, q, r y s.
Compara las expresiones en color verde con las de color azul.

Cubo de imágenes en 3D realizado con GeoGebra

En el siguiente vídeo puedes ver un cubo en 3D realizado con GeoGebra con una imagen en cada cara.

Iteraciones de Newton

Hemos visto en qué consiste iterar una función cuando se trata de funciones reales. En el plano complejo, la idea es similar.

Observa la página web con la que trabajaremos hoy.

Se ha definido una función que depende de dos parámetros: el complejo k, y el natural n. Para esos números se han representado los resultados de las primeras 100 iteraciones aplicadas al punto variable A.

Realicen las siguientes consignas, y tomen nota de sus observaciones y conclusiones. Las notas deben tomarse sobre lo que se ha acordado en las parejas: si no se ponen de acuerdo, tomen nota también de los motivos del desacuerdo.

Haz doble clic para abrir en nueva ventana la construcción completa.

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1 Ve activando poco a poco las iteraciones (con el deslizador rojo), y observa qué sucede con los complejos resultantes. Describe el comportamiendo de esa sucesión de puntos.

2 El punto donde se “amontonan” los puntos de la sucesión, se llama atractor. Moviendo la preimagen (el complejo A) podrás ver diferentes comportamientos. Busca todos los atractores, y toma nota de sus coordenadas.

3 Encuentra (si puedes) algún punto con comportamiento caótico (o sea, que no se acerque a ningún putno luego de varias iteraciones)

4 Trata de describir la posición de los atractores (si precisas una pista, puedes activar la opción al respecto que se encuentra en el applet). Completa la afirmación: Los atractores son los vértices de...

5 Cambia ahora el valor de n (con el deslizador) y enuncia aquí en qué afecta esto al conjunto de atractores. (Recuerda mover bastante el complejo A para sacar tus conclusiones)

6 Haz lo mismo modificando la posición de k.

7 ¿Es posible encontrar valores especiales para k y n de modo que no existan atractores?

8 En una posición particular de k y n (la que prefieras), elige un punto atractor, e intenta describir cuáles son los complejos A que llevan la sucesión de puntos hacia ese atractor... Si encuentras una forma de describir ese conjunto, hazlo; si no la encuentras, explica con qué dificultades de has encontrado.

Filotaxis

Simulación del fenomeno botánico de la filotaxis (disposición de hojas, semillas, pétalos y otros elementos de las plantas). Animar o variar el ángulo.

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Propuesta de investigación:
- Encontrar los ángulos que mejor distribuyen los círculos sin que se superpongan.
- Activar el zoom para ver los centrales. (Se puede apreciar que hay dos mejores)
- Dividir 360/α. Observar que números se obtienen
- Activar los periodos para ver las espirales y variar los dos números.
- Si no se distinguen los dos mejores buscar aquellos que presentan las espirales esperadas en los números de la sucesión de Fibonacci. (1,1,2,3,5,8,13,....)