Problema del carcelero

Una prisión tiene 100 celdas, con un preso por celda. El carcelero recibió la orden de liberar cierta cantidad de presos, a su elección, y él lo hizo así:
1.- Primero recorrió el pasillo frente a las celdas, abriendo todas las puertas.
2.- Empezando otra vez por el principio, cerró todas las celdas pares.
3.- Luego regresa al inicio y va a la celda 3 y de tres en tres sigue recorriendo las celdas cerrando las que encuentra abiertas y abriendo las que estaban cerradas.
4.- En su cuarto recorrido hizo lo mismo, comenzando desde el principio fue a la celda 4. En esta vez, de cuatro en cuatro repite el proceso, abriendo las cerradas y cerrando las abiertas.
5.- ...Y así sucesivamente, hasta haber completado su recorrido número cien.
El carcelero le prometió a los presos que quienes anticiparan cuáles serían todas las puertas que quedarían abiertas los dejaría en libertad.
a) ¿Ganarías tu libertad por saber con certeza qué puertas habrán quedado abiertas cuando finalice el proceso?
b) ¿Podrías saber y justificar qué números de celdas quedarían abiertas si hubiera más de las 100 celdas, cualquiera que fuera ese número?
Para ello puedes utilizar la siguiente ventana interactiva. n es el número de celdas.

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

NOTA: Todo está relacionado con la paridad del número de divisores del número de la celda.