Optimizando el volumen de una caja

Una pieza de una hoja de metal es rectangular y mide 4 pies de ancho por 6 de largo. Se cortan cuadrados congruentes en sus cuatro esquinas. La pieza resultante de metal se dobla y une para formar una caja sin tapa. ¿Cómo debe hacerse esto para obtener la caja con el mayor volumen posible? GUIA DE TRABAJO 1. Observa la figura. Si decidimos cortar cuadrados de 2 pies de lado en las esquinas de las láminas metálicas, ¿cuáles son las dimensiones de la caja y su volumen ? 2. ¿Cómo cambiarían esas dimensiones si los cuadrados que cortamos son de 2.15 pies de lado? 3. Si cortamos cuadrados más pequeños, ¿obtenemos necesariamente cajas de un volumen mayor? Explica tu respuesta 4. Como se desea obtener cajas con el volumen más grande posible, ¿se te ocurre alguna manera de determinar la medida del cuadrado que cortaremos para lograr ese mayor volumen? 5. Encuentra una expresión algebraica que permita conocer el volumen (en litros) de la caja a partir de su altura, es decir, del lado del cuadrado recortado (en dm). 6. Construye una tabla de valores a partir de la fórmula obtenida. 7. Observa la figura interactiva de abajo. Mueve el punto verde y comprueba si tienes errores en la tabla de valores. 8. Explica el significado del punto rojo y su variación al mover el verde. 9. Justifica o niega las siguientes afirmaciones, razonando tu respuesta: a) El volumen de la caja aumenta y disminuye al incrementar la altura de la caja. b) Es imposible hallar el volumen de una caja conociendo sólo una de sus tres dimensiones. c) La relación entre la altura de una caja y su volumen es lineal. Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com 10. Vamos a representar gráficamente la función definida en la pregunta 5: haz clic sobre el cuadro que dice "Dibujar trazo". Luego vuelve a mover el punto verde. Describe lo que ocurre. 11. ¿Cuál es el dominio de la función? ¿Por qué? 12. ¿En qué punto se alcanza el valor más alto de la gráfica? Compruébalo haciendo click en el cuadro "Ver gráfica y solución". 13. Cómo será la tangente a la gráfica en ese punto? 14. ¿Cuál será el valor de su pendiente? ¿Qué relación tiene ese valor con la derivada de la función en ese punto? 15. Toma la función definida en la pregunta 5 para el volumen y calcula su función derivada. 16. Sustituye en ella la x por el valor dado para la solución. ¿Cuánto da? 17. Resume tus conclusiones: ¿cómo se puede calcular el valor máximo o minimo de una función? REPITE TODOS LOS PASOS, PARA UNA LAMINA CUADRADA DE 3.5 PIES DE LADO. Mueve los puntos morados para cambiar las dimensiones de la lamina.