En la siguiente ventana podéis observar la curva Cardioide:
jueves, 16 de junio de 2011
domingo, 12 de junio de 2011
Elementos notables del triángulo
En el siguiente enlace te proporcionamos una unidad didáctica sobre los elementos notables del triángulo. El estudio, difinición y propiedades de cada uno de ellos. La unidad se completa con una tarea en la que deberán ser utilizados los contenidos aprendidos en la unidad didáctica. La unidad contiene gran cantidad de ventanas interactivas realizadas con GeoGebra. El autor de la unidad didáctica es Mariano Real. Además, te facilitamos poderte descargar la unidad en un archivo comprimido aquí. Una vez descargado y descomprimido obtienes una nueva carpeta. En ella deberás abrir con tu navegador web el archivo index.html.
sábado, 11 de junio de 2011
El problema de la plaza
Calcula la superficie de una plaza cuadrada sabiendo que si colocamos un trozo de carne en un punto de la misma y hay tres perros situados en vértices consecutivos, el primero debe recorrer 60 metros, el segundo 48 y el tercero 36.
Para resolverlo hemos realizado la siguiente construcción:
los pasos dados han sido los siguientes (Si pulsas en reproducir los puedes ver):
1.- Dibujamos el punto A en el que colocamos la carne.
2.- Con centro A dibujamos las circunferencias de radio 60 (c), 48 (d) y 36 (e).
3.- Tomamos un punto cualquiera B en la circunferencia d (posición del segundo perro.
4.- Marcamos un punto cualquiera C en la circunferencia e.
5.- Trazamos el polígono regular de 4 lados con vértices en C y B. El polígono es CBDE
6.- Dibujamos el lugar geométrico que traza el punto D en función del punto C. Nos resulta una circunferencia.
7.- Como los lugares geométricos no son figuras para GeoGebra (al menos en la versión que manejo), marcamos tres puntos de ese lugar geométrico, que eso sí lo permite geogebra F, G y H.
8.- Trazamos la circunferencia h que pasa por los puntos F, G y H.
9.- Marcamos el punto I de corte de las circunferencia c y h.
4.- Marcamos un punto cualquiera K en la circunferencia c.
5.- Trazamos el polígono regular de 4 lados con vértices en b y K. El polígono es BKLM
6.- Dibujamos el lugar geométrico que traza el punto M en función del punto K. Nos resulta una circunferencia.
7.- Como los lugares geométricos no son figuras para GeoGebra (al menos en la versión que manejo), marcamos tres puntos de ese lugar geométrico, que eso sí lo permite geogebra N, O y P.
8.- Trazamos la circunferencia p que pasa por los puntos N, O y P.
9.- Marcamos el punto Q de corte de las circunferencia p y e.
10.- Trazamos el polígono de cuatro lados con vértices Q, B e I.
11.- Observamos que ese polígono tiene por área 4603,19 unidades de superficie ese polígono es la plaza.
Para resolverlo hemos realizado la siguiente construcción:
los pasos dados han sido los siguientes (Si pulsas en reproducir los puedes ver):
1.- Dibujamos el punto A en el que colocamos la carne.
2.- Con centro A dibujamos las circunferencias de radio 60 (c), 48 (d) y 36 (e).
3.- Tomamos un punto cualquiera B en la circunferencia d (posición del segundo perro.
4.- Marcamos un punto cualquiera C en la circunferencia e.
5.- Trazamos el polígono regular de 4 lados con vértices en C y B. El polígono es CBDE
6.- Dibujamos el lugar geométrico que traza el punto D en función del punto C. Nos resulta una circunferencia.
7.- Como los lugares geométricos no son figuras para GeoGebra (al menos en la versión que manejo), marcamos tres puntos de ese lugar geométrico, que eso sí lo permite geogebra F, G y H.
8.- Trazamos la circunferencia h que pasa por los puntos F, G y H.
9.- Marcamos el punto I de corte de las circunferencia c y h.
4.- Marcamos un punto cualquiera K en la circunferencia c.
5.- Trazamos el polígono regular de 4 lados con vértices en b y K. El polígono es BKLM
6.- Dibujamos el lugar geométrico que traza el punto M en función del punto K. Nos resulta una circunferencia.
7.- Como los lugares geométricos no son figuras para GeoGebra (al menos en la versión que manejo), marcamos tres puntos de ese lugar geométrico, que eso sí lo permite geogebra N, O y P.
8.- Trazamos la circunferencia p que pasa por los puntos N, O y P.
9.- Marcamos el punto Q de corte de las circunferencia p y e.
10.- Trazamos el polígono de cuatro lados con vértices Q, B e I.
11.- Observamos que ese polígono tiene por área 4603,19 unidades de superficie ese polígono es la plaza.
viernes, 10 de junio de 2011
Más información sobre la serie Universo Matemático
La serie "Universo matemático" fue creada por el profesor Antonio Pérez Sanz y producida por RTVE en 2000. Ahora RTVE la pone a disposición de los docentes a través de su menúa "a la carta".
En la misma, durante 10 capítulos, se da un repaso a la historia de las matemáticas a través de sus representantes más significativos: Pitágoras, Newton, Leibniz, Euler, Fermat, Gauss, etc. También hay capítulos monográficos dedicados a las matemáticas y los matemáticos de la revolución francesa o uno especial sobre las mujeres matemáticas. Esta serie fue premiada en el Festival Internacional Científico de Pekín en 2002 y el año siguiente en el Parque de las Ciencias de La Coruña.
.La serie sobre Historia de las Matemáticas, "Universo Matemático", se emitió en TV2, "La Aventura del Saber"
Los títulos de los 10 programas de 24 min. de duración son:
- Pitágoras: mucho más que un teorema
- Historias de PI
- Números y cifras: un viaje en el tiempo
- Fermat: el margen más famoso de la historia
- Gauss: el príncipe de los Matemáticos
- Euler: el genio más prolífico
- Newton y Leibniz: sobre hombros de gigantes
- Las Matemáticas en la Revolución Francesa
- Mujeres Matemáticas
- Orden y Caos. La búsqueda de un sueño
Seguidamente os ofrecemos un resumen y el enlace desde el que descargar cada uno de los capítulos de esta serie en la que la propia RTVE pone a disposición de quien lo quiera, de forma gratuita. Los diez programas se pueden bajar sin problemas en formato mp4:
En la misma, durante 10 capítulos, se da un repaso a la historia de las matemáticas a través de sus representantes más significativos: Pitágoras, Newton, Leibniz, Euler, Fermat, Gauss, etc. También hay capítulos monográficos dedicados a las matemáticas y los matemáticos de la revolución francesa o uno especial sobre las mujeres matemáticas. Esta serie fue premiada en el Festival Internacional Científico de Pekín en 2002 y el año siguiente en el Parque de las Ciencias de La Coruña.
.La serie sobre Historia de las Matemáticas, "Universo Matemático", se emitió en TV2, "La Aventura del Saber"
Los títulos de los 10 programas de 24 min. de duración son:
- Historias de PI
- Números y cifras: un viaje en el tiempo
- Fermat: el margen más famoso de la historia
- Gauss: el príncipe de los Matemáticos
- Euler: el genio más prolífico
- Newton y Leibniz: sobre hombros de gigantes
- Las Matemáticas en la Revolución Francesa
- Mujeres Matemáticas
- Orden y Caos. La búsqueda de un sueño
Seguidamente os ofrecemos un resumen y el enlace desde el que descargar cada uno de los capítulos de esta serie en la que la propia RTVE pone a disposición de quien lo quiera, de forma gratuita. Los diez programas se pueden bajar sin problemas en formato mp4:
PROGRAMA 1: PITÁGORAS, MUCHO MÁS QUE UN TEOREMA
Sin duda Pitágoras es el matemático más conocido del gran público. Todo el mundo recuerda su famoso teorema. Pero las Matemáticas le deben a Pitágoras y a los pitagóricos mucho más. Ellos son los que pusieron las primeras piedras científicas no solo de la Geometría sino también de la Aritmética, de la Astronomía y de la Música.
Pero antes de Pitágoras otras dos culturas habían desarrollado unas matemáticas prácticas muy potentes: los babilonios y los egipcios. Exploraremos sus aportaciones tanto en el terreno de los sistemas de numeración que empleaban, como de sus habilidades astronómicas y geométricas. Del sistema sexagesimal de los babilonios hemos heredado tanto la división de la circunferencia en 360 grados como la forma actual de medir el tiempo en horas, minutos y segundos.
Sus tablillas nos reservan unas cuantas sorpresas matemáticas. Quizás la más importante, la tablilla Plimpton, nos desvela el hecho sorprendente de que conocían las ternas pitagóricas mil años antes de que Pitagoras viera la luz.
Disfrutaremos de alguna de las demostraciones gráficas más llamativas del famoso teorema, el que cuenta con un mayor número de demostraciones distintas a lo largo de la historia.
PROGRAMA 2: HISTORIAS DE PI
Si las matemáticas tienen algún número emblemático ese es PI: 3,141592…
La figura de Ramanujan, un joven indio sin formación universitaria está intimamente ligada al número pi. A principio de siglo descubrió nuevas series infinitas para obtener valores aproximados de pi. Las mismas que utilizan los grandes ordenadores para obtener millones de cifras de este familiar y extraño número.
Pero el verdadero padre de pi es un matemático griego de hace 2.300 años, Arquímedes. Él descubrió la famosa fórmula del área del círculo: A = p· r2 . Y también el volumen y el área de la esfera. De paso invento el primer método para obtener valores aproximados de pi aproximando el círculo mediante polígonos de un número creciente de lados.Pero pi no sólo aparece en matemáticas cuando se habla de círculos o esferas, su presencia en relaciones numéricas, en el cálculo de probabilidades y hasta en estudios estadísticos la confieren una omnipresencia casi mágica.
PR0GRAMA 3: NÚMEROS Y CIFRAS, UN VIAJE EN EL TIEMPO
Con la llegada del euro volverán los céntimos y unos viejos conocidos van a adquirir un protagonismo social que no tenían desde hace mucho tiempo: los números decimales.
Unos números que, a pesar de la creencia popular de que existen desde los comienzos de las matemáticas, sólo llevan entre nosotros cuatro siglos. Y es que la historia de los números es más compleja de lo que sospechamos.
A lo largo del programa haremos una excursión por el tiempo para descubrir la historia de las cifras. Descubriremos las cifras y la forma de utilizarlas de babilonios, egipcios, griegos y romanos hasta llegar hasta nuestras populares 10 cifras: 1, 2, 3, 4, 5… Pero incluso estas cifras heredadas de los árabes no siempre han sido la herramienta habitula para calcular. Conoceremos las aventuras de estos símbolos desde su nacimiento hasta nuestros días, en que sin duda son los símbolos más universalmente utilizados.
PROGRAMA 4: FERMAT, EL MARGEN MÁS FAMOSO DE LA HISTORIA
A principios de siglo XVII un abogado, aficionado a las matemáticas va a lanzar una serie de retos, basados en los números más simples, los enteros, a toda la comunidad matemática. Es Pierre de Fermat.
La inspiración para estos retos la encontró en un antiguo libro de matemáticas escrito allá por el siglo III, la Aritmética de Diofanto. En uno de sus márgenes Fermat va a escribir una frase que se convertirá en una de las más atractivas de la historia de las matemáticas. Su famoso último teorema:
“No existen soluciones enteras para la ecuación xn + yn = zn
cuando n es mayor que 2”
Fermat afirma que había encontrado la demostración pero por desgracia no le cabe el margen. Una desgracia que ha traído en jaque a los mejores matemáticos durante más de 350 años. Haremos un recoirrido histórico por los intentos de demostrar este teorema a lo largo de tres siglos y presentaremos a Wiles, un matemático inglés que en 1994 pasó a la historia… Por fin alguien había conseguido demostrar el “ultimo teorema de Fermat"
PROGRAMA 5: GAUSS, EL PRÍNCIPE DE LAS MATEMÁTICAS
Principios del siglo XIX. Un joven matemático acaba de resolver un problema de más de 2.000 años de antigüedad: la construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados.
Esta va a ser una de las primeras anotaciones que hará en una vieja libreta de 19 páginas. Al final de su vida las anotaciones no llegarán a 50, pero sin duda esta libreta será el sueño de cualquier matemático del siglo XIX. Las aportaciones que en ella se reflejan contienen el suficiente material para mantener ocupados a todos los matemáticos del siglo.
Sin embargo la fama de este joven, Gauss le va a venir de los cielos. A finales de 1800 los astrónomos descubren un nuevo objeto celeste. No se trata de un cometa, bien podía ser el planeta buscado tantos años entre Marte y Júpiter. Por desgracia se le pierde la pista. Pero con las pocas observaciones realizadas, Gauss se pone a la tarea de deducir su órbita y señala el lugar del cielo hacia donde apuntar los telescopios un año más tarde.
Y en efecto alli aparece Ceres.
Las increíbles aportaciones de Gauss no se limitan al mundo de las Matemáticas y de la Astronomía. Junto a Weber va a poner en marcha el primer telégrafo operativo unos años antes que el de Morse. En magnetismo también nos ha dejado su huella: el primer mapa magnético de la Tierra es obra suya.
No es inmerecido el título de Príncipe de los Matemáticos, aunque reinó en casi todas las ciencias.
PROGRAMA 6: EULER, EL GENIO MÁS PROLÍFICO
Euler es un matemático entrañable, y no sólo por sus trabajos. A lo largo del siglo XVIII ensanchó las fronteras del conocimiento matemático en todos sus campos. Sus obras completas, Opera Omnia, ocupan más de 87 grandes volúmenes, y la importancia de sus descubrimientos nos hacen dudar a veces que puedan ser obra de una sola persona. Aunque Euler no era una persona normal: era un genio.
A los 19 años ganó el premio de la Academia de Ciencias de Francia por un trabajo sobre la mejor ubicación de los mástiles de los barcos. Esto no es sorprendente, salvo por el hecho de que Euler nació en Basilea ( Suiza) y no había visto un barco en su vida. Volvería a ganar otros once premios de la Academia.
Euler recogió el guante de todos los retos planteados por Fermat y dio respuesta satisfactoria a todos menos uno, el último teorema. Hoy su nombre está asociado a resultados de casi todas las ramas de las matemáticas: análisis, álgebra, teoría de números, series, geometría, astronomía…
Lo más sorprendente es que Euler escribió más de la mitad de su obra completamente ciego realizando sus cálculo mentalmente. Nada extraño para alguien que era capaz de recitar la Eneida completa y en latín.
PROGRAMA 7: NEWTON Y LEIBNIZ. SOBRE HOMBROS DE GIGANTES
Sin duda Newton es el autor del primer paso de la carrera espacial. Las Leyes descubiertas por él son las que han permitido al hombre poner un pie en la Luna o enviar naves a Marte y Venus, explorar los planetas exteriores: Júpiter, Saturno, Neptuno y Urano. Su modelo de telescopio ha permitido ver más lejos en cielo. Sin duda los astrónomos le deben mucho a Newton.
Pero los matemáticos y de paso el resto de los científicos le deben tanto a más. Él junto a Leibniz, aunque sería mejor decir al mismo tiempo que Leibniz, son los descubridores de la más potente y maravillosa herramienta matemática: el Cálculo.
Newton tuvo en vida un prestigio y un reconocimiento social aún mayor que el que pudo tener Einstein en nuestro siglo. Como los reyes y muy pocos nobles fue enterrado en la abadía de Westminster. Leibniz murió sólo y abandonado por todos. A su entierro en Hannover sólo asistió su criado.
Hoy los dos comparten por igual la gloria de ser los padres de las dos herramientas más potentes del universo matemático: el cálculo diferencial y el cálculo integral. El instrumento ideal para entender y explicar el funcionamiento del mundo real, desde las cosas más próximas hasta el rincón más alejado del universo.
PROGRAMA 8: LAS MATEMÁTICAS EN LA REVOLUCIÓN FRANCESA
En 1791, haciendo un alto en sus disputas políticas, la Asamblea Nacional Francesa define lo que con los años se convertirá en la medida de longitud universal: el metro. La diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre. Gracias a los matemáticos franceses hoy compramos en kilos y viajamos kilómetros.
Una pléyade de notables matemáticos como nunca antes habían convivido en Francia, va a vivir de forma intensa los acontecimientos de la Revolución Francesa: Joseph Louis Lagrange, Gaspard Monge, Peirre Simon de Laplace, Adrien Marie Legendre, y el marqués de Condorcet, van a llevar a la matemática francesa a su más alta cima.
Ellos van a poner los fundamentos científicos del Análisis, del cálculo de probabilidades, de la Geometría descriptiva y de la Astronomía moderna. Pero van a hacer algo más: van a crear el modelo de la moderna enseñanza de las matemáticas superiores, un modelo que pervivirá más de dos siglos.
14 de julio, fiesta nacional francesa. Los franceses celebran el nacimiento del Estado moderno. El resto del mundo deberíamos celebrar con ellos algo quizás más importante: uno de los momentos más brillantes de la Ciencia Moderna.
PROGRAMA 9: MUJERES MATEMÁTICAS
¿Entienden las Matemáticas de sexos? ¿Son los grandes misterios de las Matemáticas algo exclusivo de los hombres? ¿Por qué, a lo largo de la historia, hay tan pocas mujeres que hayan destacado en una disciplina científica tan antigua?
Aunque parece que en la actualidad existe un equilibrio entre el número de chicos y de chicas que estudian matemáticas, esto es un fenómeno relativamente reciente. Desde luego hace cuarenta años esto no ocurría.
Para descubrir la presencia de las mujeres en el Universo de las Matemáticas haremos un recorrido histórico que comienza con el nacimiento de las matemáticas, con Pitágoras y su mujer Teano, y que continua con Hypatia en Alejandría, con Madame de Chatelet en Francia y con María Caetana Agnesi en Bolonia en el siglo XVIII.
Incluso en el siglo XIX, Sophie Germain tuvo que adoptar la identidad de un antiguo alumno de la Escuela Politécnica de París, Monsieur Leblanc, para conseguir los materiales y problemas y para presentar sus propios resultados y trabajos. Sus trabajos sorprendieron a matemáticos de la altura de Lagrange y de Gauss. Ya a finales del siglo Sophia Kovaleskaya sufrió la marginación de la mujer en el mundo académico a pesar de ser uno de los mejores cerebros de la época.
Sólo a las puertas del siglo XIX, una mujer Marie Curie va a realizar uno de los descubrimientos más importantes de la historia de la humanidad, un descubrimiento que va a cambiar la vida de ser humano en el siglo XX en muchos aspectos: la radioactividad. Y consiguió algo quizás tan importante: por primera vez en la historia la humanidad los círculos científicos abrían sus puertas de par en par a una mujer. Y con ella a tantas tan injustamente ignoradas durante siglos.
PROGRAMA 10: ORDEN Y CAOS. LA BÚSQUEDA DE UN SUEÑO
Cosmos y Caos: orden y desorden. Eso es lo que significan esas dos palabras griegas.
La historia de la ciencia se reduce a esto: una lucha eterna por descubrir el funcionamiento de la Naturaleza, un intento interminable de poner orden en el caos. Y las matemáticas van a ser una herramienta imprescindible.
Asistiremos a las batallas matemáticas más importantes en esta eterna guerra. Desde Pitágoras buscando en los números la armonía del Universo, hasta Platón asociando a los poliedros regulares el equilibrio universal.
Nos detendremos en una batalla fundamental: la lucha de Copérnico, de Galileo y de Kepler por poner orden en le movimiento caótico de los planetas. Y seremos testigos del gran triunfo de Newton descubriendo el sistema del mundo, poniendo al mismo nivel a la manzana y a la Luna.
Desde que Newton publicara en 1687 sus Principia Mathematica una idea va a impregnar hasta el último rincón de todas las disciplinas científicas: La Naturaleza tiene sus leyes matemáticas y el ser humano puede encontrarlas.
Pero por desgracia la Naturaleza se guarda siempre alguna baza. Quién puede predecir cuándo y dónde se producirá un torbellino en una corriente de agua, cómo bailan las llamas de una hoguera, qué volutas va describir el humo de un cigarro, cuándo y dónde se formará una tormenta, dónde descargará un rayo, qué figura extraña dibujará en el cielo. Decididamente son fenómenos al otro lado de la frontera del caos.
Pero las Matemáticas ya han puesto su avanzadilla en esa otra orilla: la teoría de Caos y la Geometría fractal.
Caos y orden, orden y caos. ¿No serán en el fondo las dos caras de una misma y maravillosa moneda: la Naturaleza?
Demostración gráfica del teorema de Pitágoras
Partimos del triángulo rectángulo DCB.
Mueve los controladores k1, k2, k3, k4 y k5 y observa lo que ocurre.
Mueve el punto C para obtener diferentes triángulos rectángulos con hipotenusa el segmento DB (también puedes mover el punto B para modificar la longitud de la hipotenusa del triángulo DCB).
Haz clic sobre las casillas de control de los cinco vectores u, v, w, u1 y z para ver los vectores de traslación de los diferentes polígonos de colores.
CONCLUSIÓN VISUAL:
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo DCB coincide con la suma de las áreas de los
cuadrados construidos sobre los dos catetos del triángulo rectángulo DCB.
jueves, 9 de junio de 2011
Siete problemas curiosos de Geometría
En el siguiente enlace te proporcionamos un recorrido por la resolución de siete problemas curiosos de geometría. Todos ellos han sido resuelto con GeoGebra. El autor de la resolución es Mariano Real. Además, te facilitamos poder descárgatelo en un archivo comprimido aquí. Una vez descargado y descomprimido obtienes una nueva carpeta. En ella deberás abrir con tu navegador web el archivo index.html.
RTVE pone a disposicón de todos la serie Universo matemático
Hoy vamos a hablar de la serie "Universo matemático" creada por el profesor Antonio Pérez Sanz y producida por RTVE en 2000 y en la que, a través de 10 capítulos, se da un repaso a la historia de las matemáticas a través de sus representantes más significativos: Pitágoras, Newton, Leibniz, Euler, Fermat, Gauss, etc. También hay capítulos monográficos dedicados a las matemáticas y los matemáticos de la revolución francesa o uno especial sobre las mujeres matemáticas. Esta serie fue premiada en el Festival Internacional Científico de Pekín en 2002 y el año siguiente en el Parque de las Ciencias de La Coruña.
En el siguiente enlace podéis acceder a los capítulos de esta serie en la que la propia RTVE pone a disposición de quien lo quiera, de forma gratuita, los diez programas, por lo que pueden bajar sin problemas en formato mp4.
Disfrutad de ella.
lunes, 6 de junio de 2011
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