Demostraciones del teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es el más rico en la historia de la Geometría, ningún otro ha recibido tantas atenciones, ni se le han buscado tantas demostraciones, su importancia radica en que aparece en muchas ramas de las matemáticas, recordemos la famosa ecuación x²+y² = z², tan ligada a la historia reciente de las matemáticas (último teorema de Fermat). Como dice Kepler "la geometría tiene dos grandes tesoros, uno es el teorema de Pitágoras y otro la división de un segmento en media y extrema razón. Si el primero es una joya de oro, el segundo viene a ser una piedra preciosa"(1). El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
 1.- Demostración de Pitágoras (569 a.C - 500 a. C.)
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2.- Demostración de Euclides (325 a. C. - 265 a. C.)
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El área del cuadrado ABFE es el doble del área del triángulo FCB, ya que tienen la misma base y están situados entre paralelas

Los triángulos FCB y ABI son iguales:
Dos lados iguales AB = BF y BI = BC y un ángulo igual FBC= ABI.
El área del rectángulo BIKN es doble del área del triángulo ABI pues tienen la misma base y están situados entre paralelas.
De donde tenemos:

[BIKN]= 2 [ABI] = 2 [FBC] = [ABFE]

[CJKN] = 2 [AJC] = 2 [BCH] = [ACHG]

y por tanto:

[ABFE] + [ACHG] = [BIKN]+[CJKN] = =[BIJC]

Reciprocamente. Si en un triángulo el cuadrado construido sobre uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los restantes lados del triángulo, el ángulo comprendido por estos dos lados es recto.

Demostración.- Tomamos un segmento AD = AB y perpendicular a AC, como AB²+AC² = BC² y por ser rectángulo el triángulo ADC, se tiene

AD² + AC² = DC²

pero AD = AB

BC^2 = AB² + AC² = AD² +AC² = DC²

y BC = DC y los triángulos DAC y CAB son congruentes, por tener los tres lados iguales.

3.- Demostración I de Thâbit Inb Qurra (826 - 901) Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com


4.- Demostración II de Thâbit Inb Qurra (826 - 901)
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5.- Demostración de Bhaskara (1114 - 1185)

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6.- Demostración de Leonardo da Vinci: Leonardo añade los triánagulos DKE y HCI y prueba que los cuadriláteros GJIH, GHIK son congruentes con CAEK y CBDK respectivamente

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7.- Demostración de Vieta (1452 - 1519):
DC = DA + AC = AB + AC, CE = AE - AC = AB - AC
DC . DE = (AB + AC) . (AB - AC) = AB² - AC²
Aplicando la potencia del punto C respecto de la circunferencia, tendremos que:
DC . CE = CB²
de donde:
AB² = AC² + CB²
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8. Perigal (1830): El cuadrado sobre el cateto mayor se divide en cuatro partes iguales, mediante segmentos perpendiculares que se cortan en el centro del cuadrado, siendo uno de los lados paralelo a la hipotenusa. Se desplazan estos cuatro polígonos, junto al cuadrado construido sobre el cateto menor.

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9.- Garfield (1876)
La demostración consiste en hallar de dos formas distintas el área del trapecio:
S= (a+b) (a+b)/2 = ab/2+ ab/2+c²/2
de donde:
a²+2ab+b²=2 ab + c²
y por tanto:
a²+b²=c²
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10.- De la Campa (1902)
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Esta entrada proviene de la realizada por el profesor José Martínez Hernández