Programación lineal para dos variables

Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias variables, sujeta a
una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales.

Un problema de programación lineal en dos variables, tiene la siguiente formulación estándar:


puediendo cambiarse maximizar por minimizar, y el sentido de las desigualdades.

En un problema de programación lineal intervienen:

• La función f(x,y)
  = ax + by
  
  + c llamada función objetivo y
  que es necesario optimizar. En esa expresión x
  e y son
  las variables de decisión, mientras que
  a, b y c son constantes.
  
• Las restricciones
  que deben ser inecuaciones lineales. Su número depende
  del problema en cuestión. El carácter de desigualdad
  viene impuesto por las limitaciones, disponibilidades o
  necesidades, que son: inferiores a ... ( menores: < ); como mínimo
  de ... (mayores: > ) . Tanto si se trata de maximizar como de
  minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera
  de los dos sentidos.
  
• Al conjunto
  de valores de x e y que verifican todas
  y cada una de las restricciones se lo denomina conjunto
  (o región ) factible. Todo punto de ese
  conjunto puede ser solución del problema; todo punto no
  perteneciente a ese conjunto no puede ser solución. En
  el apartado siguiente veremos como se determina la
  región factible.
  
• La solución
  óptima del problema será un par de valores (x_0,
  y₀) del conjunto
  factible que haga que f(x,y) tome el valor
  máximo o mínimo.
  

Ejemplo del uso del applet

Este applet representa dibuja los semiplanos solución de cada una de las restricciones dadas por inecuaciones, ayudándonos por tanto a representar la región factible y los puntos de corte entre las rectas.
También se representa la recta de nivel que pasa por el origen, la cual puede ser desplazada mediante un deslizador.

1. Transcribimos los dastos del problema de programación lineal en dos variables al formulario que aparece debajo. En primer lugar introducimos la función objetivo y luego las restricciones.
   Con este applet podemos usar hasta 4 restricciones además de las típicas en muchas situaciones que representan los valores positivos de las incógnitas.
2. Ahora procedemos a ir representando cada una de las inecuaciones, pulsando el botón Dibujar que aparece a la derecha de cada una de ellas.
3. El botón "Escalar Ejes" es muy importante y se usa para ampliar o disminuir la ventana gráfica.
4. Por último se representa la recta de beneficio nulo y se desliza para encontrar la solución, siendo esta el último punto que toca de la región factible.
5. Para no sobrecargar el gráfico, por defecto no aparecen los puntos de intersección de las rectas que intervienen en la región factible (candidatos a ser solución del problema). Para ello hay que pulsar el botón correspondiente y se mostrarán, por lo que la solución numérica es inmediata.

Hay que tener en cuenta que existen problemas de programación lineal de dos variables con solución única, múltiple, no acotada y sin solución. Por lo que habrá que interpretar los resultados del applet según el caso.

Función objetivo: Max/Min: z = x + y




a₁ x + b₁ y = c₁ -----
x + y ><




a₂ x + b₂ y = c₂ -----
x + y ><




a₃ x + b₃ y = c₃ -----
x + y ><




a₄ x + b₄ y = c₄ -----
x + y ><




x ≥ 0

y ≥ 0

xmin
xmáx
ymin
ymáx

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Mariano Real Pérez, Creación realizada con GeoGebra